Du Soleil à la Lune : le rapport 57/59

[PierroLego16]

On ne fait pas ce qu’on veut avec des engrenages Lego Technic… mais presque !



Je n'ose même pas regarder la date de ma dernière ouverture de topic
Je vous présente aujourd’hui un prototype que j’inscrirai peut-être dans un projet plus grand mais qui méritait d’être traité en amont du reste du projet car c’est une des parties les plus techniques. J’aurais aussi pu attendre le terme du projet pour tout présenter mais ce prototype est très satisfaisant en lui-même. Sans compter que rien ne garantit que j’irai au bout du projet global.

Alors voici le cahier des charges, en une phrase :

Réaliser un mécanisme qui prend en entrée la rotation apparente du Soleil et délivre en sortie la rotation apparente de la Lune.



Si je détaille un peu plus :
Comme vous le savez, le Soleil se lève tous les matins et se couche tous les soirs (sans déconner) donc nous voyons le Soleil faire un tour chaque jour (et ouais, bac+15 en astronomie minimum).

Et la Lune, que fait-elle ? Comme la Terre tourne on la voit aussi se lever et se coucher environ 1 fois par jour. Toute la subtilité est dans le « environ ». La rotation de la Lune autour de la Terre retarde son lever un peu plus chaque jour. Si le Soleil et la Lune se lève en même temps, alors le lendemain la Lune va se lever environ 49 minutes après le Soleil.
Pourquoi 49 minutes ? Vous savez peut-être que la durée qui sépare deux nouvelles lunes, la lunaison, est de 29,53 jours. Ça signifie que la Lune retarde de 1/29,53 jours et 24/29,53*60 = 48,76 ≈ 49 minutes.

Ainsi, pour répondre au cahier des charges, il faut que la Lune fasse 1 - 1/29,5 tour quand le Soleil fait un tour (Je fais l’approximation 29,53 ≈ 29,5). C’est un rapport de 1 - 1/29,5 = 59/59 - 2/59 = 57/59

57 c’est 3 x 19.
19 est un nombre premier.
59 est un nombre premier.

En Lego, en gros on a surtout des rapports de 2, 3 et 5. On peut aller chercher du 7 avec une turntable mais c’est chiant.
Il va falloir sacrément se retrousser les manches !

Alors c’est parti :
57/59 c’est chaud, donc on va plutôt revenir à 1 - 1/29,5
1, on sait faire…
Une soustraction, on sait faire, il faut juste un différentiel.
1/29,5 il va falloir y réfléchir.

Déjà, comment un différentiel fait-il une soustraction ?
Un différentiel fait un calcul de moyenne : la vitesse de la couronne (Vs) est la moyenne de celles des deux pignons planétaires (Ve1 et Ve2).
On a donc : Vs = (Ve1 + Ve2) / 2
Ainsi, en doublant la vitesse de la sortie on obtient 2 Vs = Ve1 + Ve2
Et en faisant en sorte que Ve2 tourne dans le sens inverse de Ve1, on a 2 Vs = Ve1 - Ve2

Reste maintenant - 1/29,5, qui est le cœur du casse-tête.
Je vais vous épargner le tâtonnement que j’ai fait pour le résoudre, et voici directement une solution :
- 1 / 29,5 = - 4 / 118 = - 4 / (120 - 2)
Super, on est bien avancés me direz-vous…
Et pourtant, si j’utilise un différentiel de manière hautement machiavélique, voici ce que je peux faire (accrochez-vous à vos slips) :
Vs = (Ve1 + Ve2) / 2
2 Vs = Ve1 + Ve2
J’accélère l’entrée 4 fois :
2 Vs = 4 Ve1 + Ve2
Je relie Ve2 à la sortie accélérée 120 fois (120 = 2x2x2x3x5) :
2 Vs = 4 Ve1 + 120 Vs
2 Vs - 120 Vs = 4 Ve1
- 118 Vs = 4 Ve1
Vs = - 4 / 118 Ve1
Vs = - 1 / 29,5 Ve1

Et voilà, il ne reste « plus qu’à » combiner les deux systèmes différentiels.
Voici le schéma de principe (différentiels en rouge) :



Et voici des photos (manivelle jaune pour le Soleil et blanche pour la Lune) :







Et une vidéo :



Esthétiquement, ça reste un prototype donc ça n'est ni beau ni suffisamment robuste (juste assez pour fonctionner correctement, ce qui est déjà pas mal vu la quantité d'engrenages).
Donc les photos et la vidéo sont sommaires mais j'avais envie de partager cette petite réussite avec vous !
Et si vous n'avez pas tout compris, tant mieux, on va discuter

[jyd80]

Et le septième jour, TLG inventa le servo-moteur... Non mais sans déconner, cette utilisation des différentiels est simplement géniale !! T'as dû bien kiffer quand même une fois la solution trouvée

[Free Bird]

Très intéressant ton exposé de ce problème, suffisamment vulgarisé pour être accessible, pas trop simplifié pour saisir la problématique de calcul.
La mise en bouche réussie, la video apporte la vision de ce qui parait simple et qui ne l'est pas, comme dans la nature. Bravo l'artiste

[PBGerard44]

Bravo, il faut déjà avoir envie de faire ça. J'imagine le casse tête pour trouver la solution mathématique et la réaliser. La lecture est agréable pour un sujet complexe. Bonne continuation.

[PierroLego16]

Merci pour vos retours !

Je vous partage aujourd’hui un élément supplémentaire (tout ça va finir par aller dans une direction commune ) : la création du rapport année / jour, soit 1 / 365,25

Comme il ne me semblait pas facile de réaliser 365, je me suis dit que tant qu’à m’embêter, autant m’embêter pour quelque chose de précis : 365,25.

Pour rappel : une année dure environ 365,2422 jours (le temps que met la Terre pour faire le tour complet du Soleil).
Notre calendrier actuel est plutôt précis car il compte 365,2425 jours. Il se décale donc de 0,0003 jours par an, soit 1 jour tous les 3333 ans. C’est solide.
Pour ça :
- on compte 365 jours par an ;
- on ajoute une année bissextile (donc un 29 février) tous les 4 ans, ce qui fait +1/4 ;
- on enlève (et c’est moins connu) une année bissextile si l’année est divisible par 100 mais pas par 400. Donc 1800 devrait être bissextile car divisible par 4 mais ne l’est pas car divisible par 100 ; 1900 devrait être bissextile car divisible par 4 mais ne l’est pas car divisible par 100 ; 2000 devrait être bissextile car divisible par 4 mais ne l’est pas car divisible par 100, mais l’est quand même car divisible par 400. Avec cette astuce, on enlève 3 jours tous les 400 ans, ce qui fait -3/400.

Conclusion 365 + 1/4 - 3/400 = 365 + 0,25 - 0,0075 = 365,2425
CQFD

Anecdote bonus :

Cherchez la date de naissance de Jésus dans la Bible… Vous ne la trouvez pas ? Étonnant, car nous fêtons pourtant sa naissance tous les 25 décembre. C’est le principe même de Noël.
En réalité, Jésus étant un symbole solaire, Noël ne devrait pas être dissocié du solstice d’hiver, et avoir lieu le 21 décembre. Alors pourquoi le 25 décembre ?
Après la conquête des Gaules, Jules César met en place le calendrier julien, qui inclue l’année bissextile. Nous sommes vers -50 (toute la Gaule est occupée. Toute ? ) et notre tout nouveau calendrier julien de 365,25 jours commence à nous décaler de 365,25 - 365,2422 jours = 0,0078 jours par an.

Au cours du IVème siècle, le calendrier julien se décale toujours et le solstice a lieu le 25 décembre. C’est à cette période que l’on commence à fêter ce qui deviendra plus tard Noël. On le fête bien le jour du solstice : le 25 décembre.

Il en va ainsi jusqu’à ce que le pape Grégoire VIII pousse à la transformation du calendrier julien en calendrier grégorien, notre calendrier actuel de 365,2425 jours.
Entre temps, l’erreur s’est cumulée, et en conséquence, pour se « recaler », il a été décidé que le lendemain du jeudi 4 octobre 1582 serait le vendredi 15 octobre 1582 (véridique !) Je vous laisse imaginer le bazar au service compta…
Toutefois, les gens sont habitués à fêter Noël le 25 décembre, alors ça on n’y touche pas, même si ça n’a plus vraiment de sens astronomique.

Source : travaux d'Howard Crowhurst

Dans mon cas, on oublie la troisième étape, et on cherche à réaliser 365,25.
Pour partir d’une nombre entier, on fait 365,25 x 4 = 1461.
On remarque que 1461 est divisible par 3.
1461 / 3 = 487.
Donc si on a 487, on va vite retrouver 365,25.
Par contre, 487 est un nombre premier, donc ça va être le moment de faire chauffer le cerveau.

Une fois encore, je vous passe le pourquoi de mon choix, car il y a eu beaucoup de tâtonnement, mais je me suis finalement dit que j’allais utiliser 490 - 3 car 490 = 2x5x7x7.
Le - 3 est moins évident que le - 2 que le différentiel permet assez naturellement puisque c’est le 2 issu du calcul de vitesse moyenne Vs = (Ve1 + Ve2) / 2 (cf le main post)
Pour obtenir ce - 3, je me suis dit que je pouvais multiplier les vitesses des entrées par 2 / 3, car alors : Vs = (2/3*Ve1 + 2/3*Ve2) / 2 = 1/3*Ve1 + 1/3*Ve2 = (Ve1 + Ve2)/3

Ainsi est arrivée la solution suivante :



Solution qui en Lego a cette allure là :







Les calculs :
Vs = (Ve1 + Ve2) / 2
Je multiplie les vitesses d’entrée par 2/3 pour avoir :
Vs = (Ve1 + Ve2) / 3
3*Vs = Ve1 + Ve2
Je relie Ve2 à la sortie accélérée 490 fois (490 = 2x5x7x7) :
3*Vs = Ve1 + 490*Vs
Ve1 = - 487*Vs
Je multiplie ma sortie par 3/4 :
Ve1 = - 487*Vs*3/4
Ve1 = - 365,25*Vs
Vs = - 1 / 365,25 Ve1

Pour finir, vous apprécierez l'art de caler un rapport 4/3 sur 3 tenons de large :



A bientôt pour la suite !