Planimètre polaire de Pritz

Présentez-nous vos créations...
Avatar de l’utilisateur
Nico71
Level 14
Level 14
 
Messages: 9609
Âge: 31 ans
expertgbbexpertsoft3dexperttrialtruckmoceurtechnicexpertvainqueurconcours3

Messagepar Nico71 » Ven Jan 04, 2013 8:27 pm

Encore une saleté mathématique, et c'est qui ce "pritz" ? Petit tour du propriétaire...

Image

D'abord, un planimètre est un outil mécanique qui permet de calculer l'aire d'une surface fermée par balayage de son périmètre. A quoi ça sert ? Et bien à calculer l'aire sous la courbe de certaines fonctions mathématiques, à calculer les moments d'inerties mais aussi à résoudre des problèmes de géométrie. Les ingénieurs d'autrefois (18ème siècle) utilisaient ces instruments pour résoudre des problèmes. Par exemple, à l’évènement des machines à vapeur, il était possible d'obtenir la courbe de la pression et du volume ou des efforts mais ce qui est réellement intéressant et la puissance de cette machine. Grâce à un planimètre, on peut la calculer en parcourant à l'aide du curseur la courbe et obtenir la puissance, bien utile pour les caractériser et les améliorer.

Image

Ok mais un planimètre polaire c'est quoi ? Et bien comme son nom l'indique, ce planimètre fonctionne en coordonnée polaire, c'est à dire que le déplacement du bras d'intégration se fait au moyen d'une rotation et non d'une translation.

Ok mais un planimètre de pritz c'est quoi ? Et bien c'est un planimètre très spécial basé sur un concept qui approxime les aires plutôt qu'il ne les calcule réellement. Comment ? Et bien le curseur du planimètre qui est monté sur un chariot mobile avec une roue suit le périmètre de la surface. La roue peut rouler sans problèmes mais elle est suffisamment massive pour qu'on ne puisse pas la faire déraper (le long de son axe de rotation). En parcourant la courbe avec le curseur, le bras suit alors la courbe, et il suit une courbe particulière, la tractrice.

Image Image

Cette tractrice est un peu comme la dérivé (attention ce n'est pas exactement la dérivé). Par exemple en parcourant une ellipse sur le dessin suivant, on voit bien que la tige reste toujours tangent à la courbe au début, puis rebrousse et revient tangent :

Image

C'est du au fait que la roule puisse rouler mais pas glisser. Sur le planimètre polaire orignal, la roue est remplacée par une fine lame de métal qui vient couper le papier. Elle peut se déplacer le long de la lame mais pas dans l'autre sens (comme une roue très fine). Comme ceci :

Image

Ma création est une adaptation de ce planimètre avec l'ajout d'un bras polaire de renvoi et du cadran. Maintenant pourquoi le fait de parcourir une courbe avec une tractrice fait que sa calcule l'aire ? Et bien c'est des maths et ça vient du théorème de Green qui dit que l'intégral curviligne (aire sous la courbe) d'une surface correspond à son intégral double (son aire) et dans ce cas la c'est une approximation, la différence de position angulaire initiale et final est à peu prés égal à l'aire balayé.

Image

En utilisation, on parcourt du coin inférieur gauche la surface puis on revient au point de départ en fermant la surface, la mesure indiquée par la cardan est l'aire de la surface. Et ce qui est fort, c'est que ça ne dépend ni de l'orientation de la surface ni de sa forme. Je le montre dans le vidéo.

Image

Au niveau du système de bras, l'orientation final du bras est transférée au cadran via un double bras qui entraîne une 40t, connecté à une 8t, connecté au curseur. Il n'y a rien de plus simple et cela assure une démultiplication pour voir les choses puisque l'oscillation du bras n'est que de 0-45°. Au delà, la précision devient médiocre.

Image

La précision, parlons en, que vaut elle ? Bah c'est pas mal, mon planimètre est précis à 5cm² je dirais. En fait, l'erreur vient déjà du fait que la tractrice n'est pas la dérivé exacte, de plus, le système pour transférer l'orientation du bras au cadran est un système de bielle, il est linéaire jusqu’à un certain point, au delà on observe une trop grande erreur car on est très proche du point de rebroussement du système. Le mieux serait un système de parallélogramme mais incompatible avec les déplacement du chariot.

La difficulté reste de tarer le système pour qu'il donne des mesures fiables. Déjà plus le bras polaire est long, meilleur est la précision (peu d'erreur de mesure) mais moins les déplacements sont importants donc plus le jeu parasite la mesure. Il faut donc trouver un optimum pour qu'on voie suffisamment de chose, mais sans trop perdre de précision, en gardant un minimum pour vaincre le jeu. C'est pourquoi la longueur ainsi que les positions des bras de renvois, du bras polaire, des points de pivot sont des données importantes pour bien configurer le planimètre. C'est la dessus que j'ai passé le plus de temps.

Au final qu'est ce que c'est ? Et bien c'est un instrument super intéressant, super simple et qui cache bien son jeu !

Pour récompenser ceux qui ont tout lu :



ps : ce planimètre n'est que le premier d'une longue série.

:)

Avatar de l’utilisateur
beni
Level 9
Level 9
 
Messages: 1499
Localisation: Limoges
Âge: 36 ans

Messagepar beni » Ven Jan 04, 2013 8:52 pm

Encore une réalisation bluffante de MISTER Nico. :resp:

Ou vas tu chercher toutes ces idées ?

Le mécanisme est de toute évidence bien réalisé et fiable.

Je serais curieux de voir un peu plus les dessous de la bete. ;)
"Le meilleur moyen de résister à la tentation, c'est d'y céder." Oscar Wilde.

-----Mon brickset ----- Ma chaine YouTube -----Mon FaceBook ----- Ma collection, avec dans le 1er post, des liens vers mes MOCs, MODs et notices.

Avatar de l’utilisateur
Anio
Administrateur
Administrateur
 
Messages: 17989
Localisation: Région lyonnaise
Âge: 33 ans
revieweurmoceurstarwarsexpertambassadeur

Messagepar Anio » Ven Jan 04, 2013 8:54 pm

Putain, ce truc de fou !!! :loveyes:

Tu bouges la manette, l'aiguille bouge dans toutes les directions un peu n'importe comment, et au moment où tu reviens, pof, ça donne la surface ! :bougeotte:

C'est grisant !

Bon, par contre j'ai pas tout compris sur les explications, mais c'est pas grave. ^^
Think outside the box.

Tout plein de liens utiles dans mon profil ! :P

Avatar de l’utilisateur
Nico59
Level 2
Level 2
 
Messages: 18

Messagepar Nico59 » Ven Jan 04, 2013 9:05 pm

Très intéressant ... et original !

Je trouve surprenant (et intéressant) le fait que l'aiguille semble vouloir indiquer trop pour enfin tomber sur la bonne valeur en faisant plus d'un tour.

Affaire à suivre si j'ai bien compris. ;)

Merci à toi.

Avatar de l’utilisateur
PG52
Level 11
Level 11
 
Messages: 2664
Localisation: Moselle
Âge: 24 ans
moceurtechnicjuniorvainqueurconcours2

Messagepar PG52 » Ven Jan 04, 2013 9:06 pm

Pareil qu'Anio, j'ai pas compris grand chose (bon je manque de bagage mathématique aussi) mais je reste admiratif. C'est tout simplement énorme ! :shock:

Avatar de l’utilisateur
gmt
Level 6
Level 6
 
Messages: 326
Âge: 43 ans

Messagepar gmt » Ven Jan 04, 2013 9:22 pm

Je suis bluffé! Et je me coucherai moins bête.
Je conaissais les calculs d'aire par découpe de papier lourd puis pesée, mais je ne savais pas qu'il existait un tel instrument pour des aires relativement complexes.

Avatar de l’utilisateur
Philo
Level 4
Level 4
 
Messages: 86
expertgbbexpertsoft3dvainqueurconcours

Messagepar Philo » Ven Jan 04, 2013 9:53 pm

beni a écrit:Je serais curieux de voir un peu plus les dessous de la bete. ;)

Oui, une photo vue de dessous (ou sans le cadran) serait très appréciée ;)

Avatar de l’utilisateur
GuilliuG
Level 12
Level 12
 
Messages: 3126
Localisation: Belgique
Âge: 26 ans
experttrialtruckmoceurtechnicexpert

Messagepar GuilliuG » Ven Jan 04, 2013 10:02 pm

Toujours aussi ingénieux ! C'est pas le genre de MOCs que j'aime construire mais c'est très agréable à voir fonctionner !

Par contre, tu te souviens encore de ton cours de math de première avec le théorème de green où tu as refait des recherches pour t'en rappeler? J'ai vu ça l'année passée mais je doute qu'en sortant de mes études je m'en souvienne encore :pamafote:
Mon site web

"Les meilleures idées sont celles qu'on n'a pas encore eues "

tangotii
Level 3
Level 3
 
Messages: 24
Âge: 24 ans

Messagepar tangotii » Ven Jan 04, 2013 10:18 pm

Très interessant! N'ayant pas encore fait les intégrales, je n'ai comme tout le monde pas tout compris, mais j'ai adoré lire tes explications, tellement que j'ai vraiment pas vu la fin arriver!

GuilliuG a écrit:Par contre, tu te souviens encore de ton cours de math de première avec le théorème de green où tu as refait des recherches pour t'en rappeler? J'ai vu ça l'année passée mais je doute qu'en sortant de mes études je m'en souvienne encore :pamafote:

Une petite erreur s'est incidieusemment glissée dans tes propos, les intégrales se font en terminale ;-).
La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne, la pratique, c'est quand tout fonctionne et personne ne sait pourquoi...
Albert Einstein
Tangotii

Avatar de l’utilisateur
PG52
Level 11
Level 11
 
Messages: 2664
Localisation: Moselle
Âge: 24 ans
moceurtechnicjuniorvainqueurconcours2

Messagepar PG52 » Ven Jan 04, 2013 10:29 pm

GuilliuG est Belge, les programmes sont différents ;) Chez nous c'est bien en terminale.

Avatar de l’utilisateur
Plastik
Level 6
Level 6
 
Messages: 330
Âge: 37 ans

Messagepar Plastik » Ven Jan 04, 2013 10:45 pm

Alors là respect!
Ca a l'air très simple a premiere vue et très complexe dès qu'on se penche vraiment sur le mode de fonctionnement... j'adore !

Sinon, moi la question qui me taraude :
comment a tu fait pour obtenir les graduations sur le disque?
Tu les as obtenue par calcul a partir des dimensions du système ou bien de façon empirique en étalonnant a partir d'une mesure d'une aire connue?

EDIT :
Question à 2 balles (mais qui me tracasse tout autant :ouch: ): Ca marche aussi si tu fait un "huit" pendant la mesure ?

Avatar de l’utilisateur
Dahut
Level 4
Level 4
 
Messages: 97
Localisation: Paris
Âge: 42 ans

Messagepar Dahut » Ven Jan 04, 2013 11:06 pm

J'adore !
Je connaissais la formule de Green pour calculer une aire de manière théorique, mais pas son application pratique, et même si le principe est très simple je trouve impressionnante la précision que tu arrives à avoir.

Pour le pourquoi du comment de l'aiguille qui bouge beaucoup pendant la mesure :
(Je vais essayer de faire le plus simple et abordable possible, mais d'habitude quand j'explique ce genre de choses à mes élèves je fais des figures dans tous les sens...)

En gros l'aiguille bouge pendant un déplacement, d'une manière qui ne dépend pas que du point de départ et d'arrivée mais aussi du chemin parcouru (une intégrale curviligne pour être exact).
Si on bouge le curseur le long d'une droite, l'aiguille peut par exemple faire un tour et demi, et si on revient en arrière le long de cette même droite l'aiguille revient à la position de départ.
Mais si au lieu de faire un parcours droit on fait un arc de cercle qui arrive au même point d'arrivée, l'aiguille va faire un peu plus ou un peu moins qu'un tour et demi (suivant le sens de courbure), et si on revient à la position de départ en ligne droit, l'aiguille ne sera pas revenu à sa position de départ, et l'écart dépend de la différence entre le trajet aller et le retour, ou plus exactement de l'aire comprise entre les deux trajectoire (aller et retour).


Plastik a écrit: EDIT :
Question à 2 balles (mais qui me tracasse tout autant :ouch: ): Ca marche aussi si tu fait un "huit" pendant la mesure ?


Ca devrait donner une aire nulle (aux imprécisions près) : Ce genre de dispositif compte les aires positivement ou négativement, suivant qu'on parcourt le bord dans le sens direct ou indirect.


Et pour ce qui est de quand on voit ça, les intégrales se font en terminale en France, mais le théorème de Green ne se voit pas au lycée mais en deuxième année de prépa ou de licence.

Avatar de l’utilisateur
Nico71
Level 14
Level 14
 
Messages: 9609
Âge: 31 ans
expertgbbexpertsoft3dexperttrialtruckmoceurtechnicexpertvainqueurconcours3

Messagepar Nico71 » Ven Jan 04, 2013 11:16 pm

GuilliuG a écrit:Par contre, tu te souviens encore de ton cours de math de première avec le théorème de green où tu as refait des recherches pour t'en rappeler? J'ai vu ça l'année passée mais je doute qu'en sortant de mes études je m'en souvienne encore :pamafote:


Non je ne connaissais même pas, je suis tombé dessus en tentant de comprendre. Par contre j'ai le bagage pour le comprendre. Après ça reste des maths et à moins de faire la démonstration, on est obligé de l'admettre.

Pour les dessous de la bête : il n'y a rien !! Le double bras qui relie la chariot entraîne une 40t qui entraîne une 8t. L'axe du curseur et sur cette 8t, il n'y a rien de plus.

Si je garde que le chariot sans le cadran, ça marche aussi, il faut alors imaginer que plus l'angle final du chariot est prononcé, plus l'angle est grand.

Plastik a écrit:Alors là respect!
comment a tu fait pour obtenir les graduations sur le disque?
Tu les as obtenue par calcul a partir des dimensions du système ou bien de façon empirique en étalonnant a partir d'une mesure d'une aire connue?


Au début j'ai essayé de faire des mesures et de construire les graduation mais j'avais des trucs un peu bâtard. Donc j'ai fais l’inverse : çad faire le cadran et caler mes mesures dessus en jouant sur les paramètres du planimètre (longueur position etc).

Plastik a écrit:EDIT :
Question à 2 balles (mais qui me tracasse tout autant :ouch: ): Ça marche aussi si tu fait un "huit" pendant la mesure ?


Oui ! Tant que la surface est fermée, aucun problème, par contre il faut toujours commencer dans le sens antitrigo.

Merci pour les commentaires :)

Avatar de l’utilisateur
Nico59
Level 2
Level 2
 
Messages: 18

Messagepar Nico59 » Ven Jan 04, 2013 11:54 pm

J'aime vraiment beaucoup (et vais essayer de m'en construire un).
Le planimètre de Pritz nous montre qu'on a su autrefois palier intelligemment l'absence de moyens de calcul évolués.

Je cite mon père à qui j'ai envoyé un lien vers ce topic (et qui a commencé sa carrière bien avant l'émergence de l'informatique !) :

Très intéressant, en effet.

Je me suis servi d'un tel planimètre en début de carrière lorsque j'étais à l'autoroute Paris Lyon. On s'en servait pour faire les cubatures de terrassements à partir du calcul des surfaces des profils en travers d'une route (ou autoroute en l'occurence). Mais je n'aurais pas imaginé que l'on puisse construire un tel appareil en logo ! Celui que nous avions était en acier inox.

Avatar de l’utilisateur
vivelevent
Level 5
Level 5
 
Messages: 186
Localisation: Sarcenas (dans une montagne en Isère )
Âge: 25 ans

Messagepar vivelevent » Sam Jan 05, 2013 12:12 am

Impressionnant! Et passionnant!
Je suis bluffé par cette machine d'une incroyable ingéniosité, merci de nous l'avoir fait découvrir! :resp:
Cependant j'ai plusieurs questions:
-Pourquoi le double bras n'a pas un comportement linéaire?
-Pourquoi un parallélogramme a un comportement linéaire, lui?
-Pourquoi est-il impossible utiliser un parallélogramme ici?

J'ai hâte de voir tes autres créations, surement plus incroyables les unes que les autres! :bounce:
Le théorème inverse d'Archimède : tout liquide alcoolisé plongé dans un corps remonte si on force trop sur ledit liquide !
écrit par les rédacteurs du dragon déchaîné
http://dragondechaine.free.fr/pages/indexpag.html


Retourner vers Vos MOCs Technic

Qui est en ligne ?

Utilisateurs parcourant actuellement ce forum : Cypr-21 et 8 invités